Question

9．已知函数f（x）=4sinωx•sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+1（ω＞0）的最小正周期是π．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用两角和公式对函数解析式进行化简整理，根据最小周期求得ω，进而求得函数解析式，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间．
（2）由已知可求2x-$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{2π}{3}$]，利用三角函数的图象和性质，可求sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[0，1]，从而可求值域．

解答 解：（1）f（x）=4sinωxsin（ωx+$\frac{π}{6}$）+1=4sinωx（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx+$\frac{1}{2}$cosωx）+1=2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$sin²ωx+1
=sin2ωx+$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$cos2ωx+1
=2sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$+1，
∵T=$\frac{2π}{2ω}$=π，
∴ω=1
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}+1$，
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[k$π-\frac{π}{12}$，k$π+\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（2）∵x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，2x-$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[0，1]，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$+1∈[1+$\sqrt{3}$，3+$\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变化的应用，考查了正弦函数的图象和性质，考查了三角函数周期性及其解法，属于基本知识的考查．