Question

1．已知x＞2，求函数y=$\frac{2{x}^{2}-8x+16}{{x}^{2}-2x+4}$的值域．

Answer 1

分析 可先分离常数得到y=$2-\frac{4（x-2）}{{x}^{2}-2x+4}$，分子上是x-2，可考虑能否让分母也出现x-2：x²-2x+4=（x-2）²+2（x-2）+4，从而分子分母同时除以x-2便可得到$y=2-\frac{4}{（x-2）+\frac{4}{x-2}+2}$，从而可根据基本不等式得到$（x-2）+\frac{4}{x-2}$的范围，进一步得到$\frac{1}{（x-2）+\frac{4}{x-2}+2}$的范围，从而可得出y的范围，即得出原函数的值域．

解答 解：将原函数变成：$y=\frac{2（{x}^{2}-2x+4）-4x+8}{{x}^{2}-2x+4}=2+\frac{-4x+8}{{x}^{2}-2x+4}$=$2-\frac{4}{\frac{（x-2）^{2}+2（x-2）+4}{x-2}}=2-\frac{4}{（x-2）+\frac{4}{x-2}+2}$；
∵x＞2；
∴x-2＞0；
∴$（x-2）+\frac{4}{x-2}≥4$，x=4时取“=”；
∴$0＜\frac{1}{（x-2）+\frac{4}{x-2}+2}≤\frac{1}{6}$；
∴$\frac{4}{3}≤y＜2$；
∴原函数的值域为$[\frac{4}{3}，2）$．

点评 考查函数值域的概念，分离常数法的运用，凑出基本不等式$x+\frac{a}{x}$的形式，然后应用基本不等式求值域的方法，注意判断等号能否取到，以及不等式的性质．