Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n-1-a_n=2a_n-1a_n （n∈N，N≥2）．
（1）求证数列{

1

an

}是等差数列；
（2）求证数列{a_na_n+1}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用恒等变换求出数列的等式：

1

an

-

1

an-1

=2，由于相邻项的差是常数，所以进一步得到数列是等差数列．
（2）利用（1）的结论得到数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出数列的和．

解答： 证明：（1）已知a_n-1-a_n=2a_n-1a_n
所以：

1

an

-

1

an-1

=2（常数）（n∈N，N≥2）．
所以数列{a_n}是以

1

a1

=1为首项，2为公差的等差数列．
解：（2）由（1）得：

1

an

=

1

a1

+2(n-1)=2n-1
所以：an=

1

2n-1

，
进一步求出：an+1=

1

2n+1

所以：anan+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
Sn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

点评：本题考查的知识要点：利用定义法证明数列是等差数列，裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础题型．