Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁=（-

3

，0），椭圆过点P（-

2

，

2

2

）
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点D（l，0），直线l：y=kx+m与椭圆C交于A、B两点，以DA和DB为邻边的四边形是菱形，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意知c=

3

，b²=a²-3，由

2

a2

+

1 2

a2-3

=1得2a⁴-11a²+12=0，由此能求出椭圆C的方程．
（2）由

y=kx+m x2 4 +y2=1

得（4k²+1）x²+8kmx+4（m²-1）=0．由△=64k²m²-16（4k²+1）（m²-1）=64k²-16m+16＞0，得4k²+1＞m²．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为M（x₀，y₀），由韦达定理知x₁+x₂=-

8km

4k2+1

，x₁•x₂=

4(m2-1)

4k2+1

，于是x₀=

-4km

4k2+1

，y₀=k•

-4km

4k2+1

+m=

m

4k2+1

，M（

-4km

4k2+1

，

m

4k2+1

）．由此入手，能够求出k的取值范围．

解答：解：（1）由题意知c=

3

，b²=a²-3，由

2

a2

+

1 2

a2-3

=1得2a⁴-11a²+12=0，
所以（a²-4）（2a²-3）=0，得a²=4或a²=

3

2

＜c²（舍去），
因此椭圆C的方程为

x2

4

+y²=1．（4分）
（2）由

y=kx+m x2 4 +y2=1

得（4k²+1）x²+8kmx+4（m²-1）=0．
所以4k²+1＞0，△═64k²m²-16（4k²+1）（m²-1）=64k²-16m+16＞0，
得4k²+1＞m²．①（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为M（x₀，y₀），则x₁+x₂=-

8km

4k2+1

，x₁•x₂=

4(m2-1)

4k2+1

，
于是x₀=

-4km

4k2+1

，y₀=k•

-4km

4k2+1

+m=

m

4k2+1

，
∴M（

-4km

4k2+1

，

m

4k2+1

）．
设菱形一条对角线的方程为y=-

1

k

（x-1），则有x=-ky+1．
将点M的坐标代入，得-

4km

4k2+1

=

-km

4k2+1

+1，所以m=-

4k2+1

3k

．②（9分）
将②代入①，得4k²+1＞

(4k2+1)2

9k2

，
所以9k²＞4k²+1，解得k∈（-∽，

5

5

）∪（

5

5

，+∞）．（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法和求k的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．本题主要考查运算能力，比较繁琐，解题时要格外细心，避免出错．