题目内容
设椭圆C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| F1F2 |
| F2Q |
| 0 |
（1）若过A．Q．F2三点的圆恰好与直线l：x-
| 3 |
（2）在（1）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M．N两点．试证明：
| 1 |
| |F2M| |
| 1 |
| |F2N| |
分析：（1）由2
+
=
知：F1为F2Q中点．由
⊥
，知F1为△AQF2的外接圆圆心，由此能求出椭圆方程．
（2）①由F2（1，0），知y=k（x-1），
，代入得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），由根与系数的关系知
+
为定值
．
②由y1+y2=k（x1+x2-2），知
+
=(x1-m，y1) +(x2-m，y2)=（x1+x2-2m，y1+y2），由于菱形对角线垂直，则(
+
) •
=0，故k（y1+y2）+x1+x2-2m=0，则k2（x1+x2-2）+x1+x2-2m=0，由此知存在满足题意的点P且的取值范围是0＜m＜
．
| F1F2 |
| F2Q |
| 0 |
. |
| F2A |
| AQ |
（2）①由F2（1，0），知y=k（x-1），
|
| 1 |
| |F2M| |
| 1 |
| |F2N| |
| 4 |
| 3 |
②由y1+y2=k（x1+x2-2），知
| PM |
| PN |
| PM |
| PN |
| MN |
| 1 |
| 4 |
解答：解：（1）由2
+
=
知：F1为F2Q中点．
又∵
⊥
，
∴|F1Q|=|F1A|=|F1F2|，即F1为△AQF2的外接圆圆心
而|F1A|=a，|F1F2|=2c，∴a=2c，又圆心为（-c，0），半径r=a，
∴
=a，解得a=2，
∴所求椭圆方程为
+
=1．（5分）
（2）①由（1）知F2（1，0），y=k（x-1），
，代入得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=
，
又∵|F2M|=a-ex1，|F2N|=a-ex2，
∴
+
=
+
=
，
+
=
=
，
∴
+
为定值
．（10分）
②由上可知：y1+y2=k（x1+x2-2），
+
=(x1-m，y1) +(x2-m，y2)=（x1+x2-2m，y1+y2），
由于菱形对角线垂直，则(
+
) •
=0，
故k（y1+y2）+x1+x2-2m=0，则k2（x1+x2-2）+x1+x2-2m=0，
k2(
-2)+
-2m=0，由已知条件知k≠0且k∈R，
m=
=
，∴0＜m＜
，
故存在满足题意的点P且的取值范围是0＜m＜
．（15分）
| F1F2 |
| F2Q |
| 0 |
又∵
. |
| F2A |
| AQ |
∴|F1Q|=|F1A|=|F1F2|，即F1为△AQF2的外接圆圆心
而|F1A|=a，|F1F2|=2c，∴a=2c，又圆心为（-c，0），半径r=a，
∴
| |-c-3| |
| 2 |
∴所求椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）①由（1）知F2（1，0），y=k（x-1），
|
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=
| 8k2 |
| 3+4k2 |
| 4k2-12 |
| 3+4k2 |
又∵|F2M|=a-ex1，|F2N|=a-ex2，
∴
| 1 |
| |F2M| |
| 1 |
| |F2N| |
| 1 |
| a-ex1 |
| 1 |
| a-ex2 |
| 2a-e(x1+x2) |
| a2-ae(x1+x2) +e2(x1x2) |
| 1 |
| |F2M| |
| 1 |
| |F1M| |
4-
| ||||||
4-1•
|
| 4 |
| 3 |
∴
| 1 |
| |F2M| |
| 1 |
| |F2N| |
| 4 |
| 3 |
②由上可知：y1+y2=k（x1+x2-2），
| PM |
| PN |
由于菱形对角线垂直，则(
| PM |
| PN |
| MN |
故k（y1+y2）+x1+x2-2m=0，则k2（x1+x2-2）+x1+x2-2m=0，
k2(
| 8k2 |
| 3+4k2 |
| 8k2 |
| 3+4k2 |
m=
| k2 |
| 3+4k2 |
| 1 | ||
|
| 1 |
| 4 |
故存在满足题意的点P且的取值范围是0＜m＜
| 1 |
| 4 |
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
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