Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞1）右焦点为F，它与直线l：y=k（x+1）相交于P、Q两点，l与x轴的交点M到椭圆左准线的距离为d，若椭圆的焦距是b与d+|MF|的等差中项．
（1）求椭圆离心率e；
（2）设N与M关于原点O对称，若以N为圆心，b为半径的圆与l相切，且

OP

•

OQ

=-

5

3

求椭圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得，4c=b+d+|MF|=b+c+

a2

c

，化简可得3c²=bc+a³=bc+b²+c²；进而可得b=c，则a=

2

c，计算可得答案．
（2）由（1）中a、b的关系，设椭圆方程为x²+2y²=2b²，联立两者的方程，可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2b²=0；令其△＞0得，
b²＞

k2

1+2k2

，由根与系数的关系，可以表示出

OP

•

OQ

，结合题意，以N为圆心，b为半径的圆与l相切，可得又

|2k|

k2+1

=b，化简可得b²（k²+1）=4k²，代入

OP

•

OQ

中，解可得k的值，进而可得a、b的值；进而可得答案．

解答：解：（1）根据题意，椭圆的焦距是b与d+|MF|的等差中项，
则4c=b+d+|MF|=b+c+

a2

c

（

a2

c

＞a＞1），即3c²=bc+a³=bc+b²+c²；
化简可得，b=c，则a=

2

c，
则e=

2

2

；
（2）设椭圆方程为x²+2y²=2b²，
联立

x2+2y2=2b2 y=k(x+1)

，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2b²=0；
由△＞0得，b²＞

k2

1+2k2

，
且x₁+x₂=-

4k2

1+2k2

，x₁•x₂=

2k2-2b2

1+2k2

，

OP

•

OQ

=

3k2-2b2(1+k2)

1+2k2

=-

5

3

 ①；
又

|2k|

k2+1

=b得b²（k²+1）=4k²，
代入①解得：k²=1；
即b²=2，a²=4；
椭圆的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，注意在解题时，联立直线与椭圆的方程，一定要令△＞0，并计算k、b的关系；保证直线与椭圆有两个不同的交点．