题目内容
(2012•盐城一模)设椭圆C:
+
=1(a>b>0)恒过定点A(1,2),则椭圆的中心到准线的距离的最小值
+2
+2.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
5 |
5 |
分析:根据椭圆C:
+
=1(a>b>0)恒过定点A(1,2),可得
+
=1,利用椭圆几何量之间的关系,设
=
,等式可转化为t2a4-(t2+1)a2+5=0,利用判别式,即可求得椭圆的中心到准线的距离的最小值.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
1 |
a2 |
4 |
b2 |
a2 |
c |
1 |
t |
解答:解:设椭圆的焦距为2c,同时可设
=
,∴c=ta2
∵椭圆C:
+
=1(a>b>0)恒过定点A(1,2),
∴
+
=1
∴b2+4a2=a2b2
∴5a2-c2=a2(a2-c2)
∴5a2-(ta2)2=a2[a2-(ta2)2]
∴t2a4-(t2+1)a2+5=0
∴△=(t2+1)2-20t2≥0时,方程有解
∴t2-2
t+1≥0
∴t≥
+2,或0<t≤
-2
∴0<
≤
-2,或
≥
+2
∵椭圆C:
+
=1(a>b>0)恒过定点A(1,2),
∴椭圆的中心到准线x=
>1
∴椭圆的中心到准线的距离的最小值
+2
故答案为:
+2
a2 |
c |
1 |
t |
∵椭圆C:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
∴
1 |
a2 |
4 |
b2 |
∴b2+4a2=a2b2
∴5a2-c2=a2(a2-c2)
∴5a2-(ta2)2=a2[a2-(ta2)2]
∴t2a4-(t2+1)a2+5=0
∴△=(t2+1)2-20t2≥0时,方程有解
∴t2-2
5 |
∴t≥
5 |
5 |
∴0<
1 |
t |
5 |
1 |
t |
5 |
∵椭圆C:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
∴椭圆的中心到准线x=
a2 |
c |
∴椭圆的中心到准线的距离的最小值
5 |
故答案为:
5 |
点评:本题综合考查椭圆的标准方程与性质,考查解不等式,考查学生分析解决问题的能力,有一定的技巧.
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