题目内容

(2012•盐城一模)设椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
恒过定点A(1,2),则椭圆的中心到准线的距离的最小值
5
+2
5
+2
分析:根据椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
恒过定点A(1,2),可得
1
a2
+
4
b2
=1
,利用椭圆几何量之间的关系,设
a2
c
=
1
t
,等式可转化为t2a4-(t2+1)a2+5=0,利用判别式,即可求得椭圆的中心到准线的距离的最小值.
解答:解:设椭圆的焦距为2c,同时可设
a2
c
=
1
t
,∴c=ta2
∵椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
恒过定点A(1,2),
1
a2
+
4
b2
=1

∴b2+4a2=a2b2
∴5a2-c2=a2(a2-c2
∴5a2-(ta22=a2[a2-(ta22]
∴t2a4-(t2+1)a2+5=0
∴△=(t2+1)2-20t2≥0时,方程有解
t2-2
5
t+1≥0

∴t≥
5
+2
,或0<t≤
5
-2

0<
1
t
5
-2
,或
1
t
≥ 
5
+2

∵椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
恒过定点A(1,2),
∴椭圆的中心到准线x=
a2
c
>1
∴椭圆的中心到准线的距离的最小值
5
+2

故答案为:
5
+2
点评:本题综合考查椭圆的标准方程与性质,考查解不等式,考查学生分析解决问题的能力,有一定的技巧.
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