题目内容

n∈N，a＞b，求证：a ^{2 n}^＋¹＞b ^{2 n}^＋¹

答案：
解析：

证法1．（分类讨论）．

① 当则a ^{2 n}^＋¹＞b ^{2 n}^＋¹

② 当则a ^{2 n}^＋¹＞0，b ^{2 n}^＋¹= 0 ∴ a ^{2 n}^＋¹＞b ^{2 n}^＋¹

③ 当则a ^{2 n}^＋¹＞0，b ^{2 n}^＋¹＜0 ∴ a ^{2 n}^＋¹＞b ^{2 n}^＋¹

④ 当则a ^{2 n}^＋¹= 0，b ^{2 n}^＋¹＜0 ∴ a ^{2 n}^＋¹＞b ^{2 n}^＋¹

⑤ 当则0＜－a＜－b

可得 (－a)^{2 n}^＋¹＜(－b)^{2 n}^＋¹

也就是－a^{2 n}^＋¹＜－b^{2 n}^＋¹

∴ a ^{2 n}^＋¹＞b ^{2 n}^＋¹．

综上所述，由a＞b，可得a ^{2 n}^＋¹＞b ^{2 n}^＋¹( n∈N )

证法2．∵a ^{2 n}^＋¹－b ^{2 n}^＋¹= (a－b) (a ²ⁿ＋a ²ⁿ^－¹ b＋a ²ⁿ^－² b ²＋…＋a b ²ⁿ^－¹＋b ²ⁿ)

若，则．a ²ⁿ＋a ²ⁿ^－¹ b＋a ²ⁿ^－² b ²＋…＋a b ²ⁿ^－¹， b ²ⁿ＞0

若，则．a ²ⁿ^－^k · b^k＞0 （k = 0，1，…，2n）

∴ (a－b) (a ²ⁿ＋a ²ⁿ^－¹ b＋…＋a b ²ⁿ^－¹＋b ²ⁿ) ＞0

∴ a ^{2 n+1}＞b ^{2 n+1}

若a = 0，由a＞b，得b＜0，化简得a ^{2 n}^＋¹= 0＞b ^{2 n+1}；

若b = 0，由a＞b，得a＞0．从而得：a ^{2 n}^＋¹＞0 = b ^{2 n+1}

若，

∴ a ^{2 n}^＋¹＞0＞b ^{2 n}^＋¹．

∴ a＞b

可得a ^{2 n}^＋¹＞b ^{2 n}^＋¹( n∈N )．

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