Question

（2013•南京二模）已知数列{a_n}的各项都为正数，且对任意n∈N^*，都有

a

2 n+1

=anan+2+k（k为常数）．
（1）若k=(a2-a1)2，求证：a₁，a₂，a₃成等差数列；
（2）若k=0，且a₂，a₄，a₅成等差数列，求

a2

a1

的值；
（3）已知a₁=a，a₂=b（a，b为常数），是否存在常数λ，使得a_n+a_n+2=λa_n+1对任意n∈N^*都成立？若存在．求出λ；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）把k=(a2-a1)2，代入

a

2 n+1

=anan+2+k，令n=1化简即可证明；
（2）当k=0时，

a

2 n+1

=anan+2，由于数列{a_n}的各项都为正数，可得数列{a_n}是等比数列，设公比为q＞0，根据a₂，a₄，a₅成等差数列，可得a₂+a₅=2a₄，即a1q+a1q4=2a1q3，解出即可；
（3）存在常数λ=

a2+b2-k

ab

，使得a_n+a_n+2=λa_n+1对任意n∈N^*都成立．由

a

2 n+1

=anan+2+k，及

a

2 n

=an-1an+1+k(n≥2，n∈N*)，可得

a

2 n+1

+an-1an+1=anan+2+

a

2 n

，由于a_n＞0，两边同除以a_na_n+1，得到

an+1+an-1

an

=

an+an+2

an+1

，进而

an+an+2

an+1

=

an-1+an+1

an

=…=

a1+a3

a2

，即当n∈N^*时，都有an+an+2=

a1+a3

a2

an+1，再利用已知求出a₁，a₂，a₃即可证明．

解答：（1）证明：∵k=(a2-a1)2，
∴

a

2 n+1

=anan+2+(a2-a1)2，
令n=1，则

a

2 2

=a1a3+(a2-a1)2，
∵a₁＞0，∴2a₂=a₁+a₃，
故a₁，a₂，a₃成等差数列；
（2）当k=0时，

a

2 n+1

=anan+2，
∵数列{a_n}的各项都为正数，
∴数列{a_n}是等比数列，设公比为q＞0，
∵a₂，a₄，a₅成等差数列，
∴a₂+a₅=2a₄，∴a1q+a1q4=2a1q3，
∵a₁＞0，q＞0，
∴q³-2q²+1=0，
化为（q-1）（q²-q-1）=0，解得q=1或q=

1+ 5

2

．
∴

a2

a1

═q=1或

1+ 5

2

．
（3）存在常数λ=

a2+b2-k

ab

，使得a_n+a_n+2=λa_n+1对任意n∈N^*都成立．
证明如下：∵

a

2 n+1

=anan+2+k，∴

a

2 n

=an-1an+1+k(n≥2，n∈N*)，
∴

a

2 n+1

-

a

2 n

=anan+2-an-1an+1，即

a

2 n+1

+an-1an+1=anan+2+

a

2 n

，
由于a_n＞0，两边同除以a_na_n+1，得到

an+1+an-1

an

=

an+an+2

an+1

，
∴

an+an+2

an+1

=

an-1+an+1

an

=…=

a1+a3

a2

，
即当n∈N^*时，都有an+an+2=

a1+a3

a2

an+1，
∵a₁=a，a₂=b，

a

2 n+1

=anan+2+k，
∴a₃=

b2-k

a

．∴

a1+a3

a2

=

a+ b2-k a

b

=

a2+b2-k

ab

．
∴存在常数λ=

a2+b2-k

ab

，使得a_n+a_n+2=λa_n+1对任意n∈N^*都成立．

点评：本题综合考查了等比数列与等差数列的定义及通项公式，灵活的变形推理能力和计算能力．