题目内容

已知f（x）=log₂x，当点M（x，y）在y=f（x）的图象上运动时，点N（x，ny）在函数y=g_n（x）的图象上运动（n∈N）．
（1）求y=g_n（x）的解析式；
（2）求集合A={a|关于x的方程g₁（x+2）=g₂（x+a）有实根，a∈R}；
（3）设 $数学公式$ ，函数F（x）=H₁（x）-g₁（x），（0＜a≤x≤b）的值域为 $数学公式$ ，
求证： $数学公式$ ．

解：（1）由条件知 $\text{[math]}$ ，又f（x）=log₂x∴解析式g_n（x）=nlog₂x．
（2）∵方程g₁（x+2）=g₂（x+a），即 $\text{[math]}$ ，
∴求集合A就是求方程 $\text{[math]}$ 有实根时a的范围．
而 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 时原方程总有实根，

∴集合 $\text{[math]}$ ．

（3）∵ $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ 在[a，b]上递减，
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ①，
由 $\text{[math]}$ 与y=log₂x的图象只有唯一交点知：方程 $\text{[math]}$ 只有唯一解，
经检验 $\text{[math]}$ 是方程组①的唯一解，故得证．
分析：（1）由于f（x）=log₂x，点N（x，ny）又在函数y=g_n（x）的图象上运动（n∈N）．所以，直接代入即可；
（2）关于x的方程g₁（x+2）=g₂（x+a）有实根，即 $\text{[math]}$ 有实根，实质是求函数y= $\text{[math]}$ 的值域；
（3）函数F（x）=H₁（x）-g₁（x），（0＜a≤x≤b）的值域为 $\text{[math]}$ ，故此，本问题只需判断出函数F（x）在[a，b]上的单调性即可求解a，b．
点评：待定系数法是求函数解析式的一种常见方法，例如问题（1）；转化思想是数学中的重要思想之一，问题的转化往往可以收到意想不到的效果，如问题（2）；问题（3）再次展现了求解函数最值时导数的工具性作用．