Question

6．已知函数f（x）=xcosx-sinx+$\frac{1}{4}$x²，当x∈（0，π）时，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性．

解答 解：∵f（x）=xcosx-sinx+$\frac{1}{4}$x²，
∴f′（x）=cosx-xsinx-cosx+$\frac{1}{2}$x=-xsinx+$\frac{1}{2}$x，
令-xsinx+$\frac{1}{2}$x=0，则sinx=$\frac{1}{2}$，
又∵x∈（0，π），
∴x=$\frac{π}{6}$或x=$\frac{5π}{6}$；
则可知，当x∈（0，$\frac{π}{6}$）∪（$\frac{5π}{6}$，π）时，f′（x）＞0，
当x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$）时，f′（x）＜0；
∴函数f（x）的单调增区间是（0，$\frac{π}{6}$），（$\frac{5π}{6}$，π）；单调减区间是（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查三角函数问题，判断函数的单调性一般有两种方法，定义法与导数法；要根据具体问题选择．