Question

1．已知函数f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$x²-mx+1（m∈R）．
（1）设函数f（x）=2m²f（x）-g（x），求函数F（x）的单调区间；
（2）对于任意实数x₁，x₂∈[1，2]，且x₁≠x₂，都有f（x₁）-f（x₂）＞g（x₂）-g（x₁）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出F（x）的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为f（x）_min＞g（x）_max在[1，2]恒成立，f（x）_min=f（1）=0，只需g（x）＜0在[1，2]恒成立即可，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（1）F（x）=2m²f（x）-g（x）=2m²lnx-$\frac{1}{2}$x²-mx+1，（x＞0），
F′（x）=-$\frac{（x-2m）（x+m）}{x}$，
①m＞0时，x+m＞0，
令F′（x）＞0，解得：x＜2m，令F′（x）＜0，解得：x＞2m，
∴F（x）在（0，2m）递增，在（2m，+∞）递减，
②m=0时，F′（x）＜0，F（x）在（0，+∞）递减，
③m＜0时，x-2m＞0，
令F′（x）＞0，解得：x＜-m，令F′（x）＜0，解得：x＞-m，
∴F（x）在（0，-m）递增，在（-m，+∞）递减；
（2）对于任意实数x₁，x₂∈[1，2]，且x₁≠x₂，都有f（x₁）-f（x₂）＞g（x₂）-g（x₁）成立，
即f（x）_min＞g（x）_max在[1，2]恒成立，
f（x）=lnx在[1，2]递增，f（x）_min=f（1）=0，
∴只需g（x）＜0在[1，2]恒成立即可，
函数g（x）的对称轴x=m，
m≤1时，g（x）在[1，2]递增，g（x）_max=g（2）=3-2m＜0，解得：m＞$\frac{3}{2}$，舍，
m≥2时，g（x）在[1，2]递减，g（x）_max=g（1）=$\frac{3}{2}$-m＜0，解得：m＞$\frac{3}{2}$，
故m≥2；
1＜m＜2时，g（x）_max=max{g（1）或g（2）}，解得：m＞$\frac{3}{2}$，
故$\frac{3}{2}$＜m＜2，
综上：m＞$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．