Question

12．如果长方体三面的面积分别是$\sqrt{2}，\sqrt{3}，\sqrt{6}$，那么它的外接球的半径是（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 根据题意建立方程组，解出长方体的长、宽、高分别为$\sqrt{2}$，1，$\sqrt{3}$，从而算出长方体的对角线长l=$\sqrt{6}$，可得外接球的直径，即可算出长方体外接球的半径．

解答 解：设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，
∵长方体共顶点的三个面的面积分别是$\sqrt{2}，\sqrt{3}，\sqrt{6}$，
∴xy=$\sqrt{2}$，yz=$\sqrt{3}$，xz=$\sqrt{6}$，解之得x=$\sqrt{2}$，y=1，z=$\sqrt{3}$，
可得长方体的对角线长l=$\sqrt{6}$．
设长方体外接球的半径为R，则2R=l=$\sqrt{6}$，可得R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故选：B．

点评 本题给出长方体共顶点的三个面的面积，求外接球的半径．着重考查了长方体的对角线长公式、矩形面积公式等知识，属于基础题．