Question

已知函数f（x）=log

1

2

cos

πx

3

，x∈（0，1），函数g（x）=asin（

π

6

x）-2a+2（a＞0），x∈（0，1）．若存在x₁，x₂∈（0，1），使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（

  4

  3

  ，

  3

  2

  ）
• B、（

  2

  3

  ，1）
• C、（

  1

  2

  ，

  4

  3

  ）
• D、（

  1

  3

  ，2）

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：先由条件求得f（x）的值域，函数g（x）的值域，再根据这两个函数的值域的交集非空，求得a的范围．

解答： 解：由于x∈（0，1），可得f（x）的值域为（0，1），
函数g（x）=asin（

π

6

x）-2a+2（a＞0）的值域为（2-2a，2-

3a

2

），
f（x）=log

1

2

cos

πx

3

，x∈（0，1）的值域为（0，1），
若存在x₁，x₂∈（0，1），使得f（x₁）=g（x₂）成立，
则（0，1）∩（2-2a，2-

3a

2

）≠∅，
若（0，1）∩（2-2a，2-

3a

2

）=∅，则有2-2a≥1，或 2-

3a

2

≤0．
解得 a≤

1

2

，或a≥

4

3

，故要求的实数a的取值范围是（

1

2

，

4

3

），
故选：C．

点评：本题主要考查复合三角函数的单调性，正弦函数、余弦函数的值域，体现了转化的数学思想，属于中档题．