Question

12．在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 根据余弦定理求出BC的长度，在△ABD和△ADC中，利用余弦建立等式关系求出AD即可．

解答 解：在△ABC中，AB=3，AC=1，∠BAC=60°，
余弦定理：可得BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos60°
即BC=$\sqrt{7}$．
在△ADC中，设BD=m，则DC=$\sqrt{7}-m$．
余弦定理：可得DC²=AD²+AC²-2AD•AC•cos30°
即（$\sqrt{7}-m$）²=AD²+1-$\sqrt{3}$AD…①，
在△ABD中：
余弦定理：可得DB²=AD²+AB²-2AD•AB•cos30°
即：m²=AD²+9-$3\sqrt{3}$AD…②，
由①②求解得：AD=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题余弦定理的运用和计算能力．属于基础题．解题时要注意余弦定理的合理运用．