Question

3．在△ABC中，设向量$\overrightarrow m=（{sinA+sinB，sinC}）$，$\overrightarrow n=（{sinA+sinB，-sinC}）$，$\overrightarrow m•\overrightarrow n=3sinA•sinB$．
（1）求C的值；
（2）求sinA+sinB的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积以及正弦定理余弦定理转化求解C的值；
（2）利用三角形内角关系，通过两角和与差的三角函数化简函数的解析式，即可求解表达式的范围．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）由$\overrightarrow m•\overrightarrow n=3sinA•sinB$，（sinA+sinB）²-sin²C=3sinA•sinB，…（1分）
由正弦定理，等式可为（a+b）²-c²=3ab，
∴a²+b²-c²=ab，…（3分）
由余弦定理可得$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}$=$\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}$，
∴∠C=$\frac{π}{3}$…（6分）
（2）由（1）可知，$A+B=\frac{2π}{3}$，所以$B=\frac{2π}{3}-A$，…（7分）
sinA+sinB=$sinA+sin（{\frac{2π}{3}-A}）$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA+\frac{3}{2}sinA$=$\sqrt{3}（{\frac{1}{2}cosA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinA}）$=$\sqrt{3}sin（{\frac{π}{6}+A}）$，…（10分）
∵$0＜A＜\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}＜\frac{π}{6}+A＜\frac{5}{6}π$，∴$\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜\sqrt{3}sin（{\frac{π}{6}+A}）≤\sqrt{3}$，
∴sinA+sinB的取值范围为$（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\sqrt{3}}]$…（12分）

点评 本题考查向量的数量积以及两角和与差的三角函数，考查计算能力．