Question

3．函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）；f（x）的图象的横坐标缩小为原来的$\frac{1}{2}$后得函数y=g（x）的图象，则g（x）的单调减区间为[$\frac{π}{12}$+$\frac{1}{2}$kπ，$\frac{π}{3}$+$\frac{1}{2}$kπ]，k∈Z．

Answer 1

分析 根据已知中函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象，求出周期可得ω，代入最大值点坐标，可得ω，进而得到函数的解析式，根据函数图象的伸缩变换，求出函数y=g（x）的解析式，结合正弦函数的单调性，可得g（x）的单调减区间．

解答 解：由已知中函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象可得：
$\frac{3T}{4}$=$\frac{5π}{12}-（-\frac{π}{3}）$，
解得：T=π，
故ω=2，
当x=$\frac{5π}{12}$时，sin（2×$\frac{5π}{12}$+φ）=1，
故2×$\frac{5π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$，
故φ=$\frac{π}{6}$，
故f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
f（x）的图象的横坐标缩小为原来的$\frac{1}{2}$后得函数y=g（x）的图象，
∴g（x）=$\sqrt{2}$sin（4x+$\frac{π}{6}$）；
由4x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：
x∈[$\frac{π}{12}$+$\frac{1}{2}$kπ，$\frac{π}{3}$+$\frac{1}{2}$kπ]，k∈Z，
即g（x）的单调减区间为[$\frac{π}{12}$+$\frac{1}{2}$kπ，$\frac{π}{3}$+$\frac{1}{2}$kπ]，k∈Z，
故答案为：f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）；[$\frac{π}{12}$+$\frac{1}{2}$kπ，$\frac{π}{3}$+$\frac{1}{2}$kπ]，k∈Z

点评 本题考查的知识是正弦型函数的图象和性质，函数图象的变换，难度中档．