Question

8．如图平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=2，M为CD边的中点，沿BM将△CBM折起使得平面BMC⊥平面ABMD．

（1）求四棱锥C-ADMB的体积；
（2）求折后直线AB与平面AMC所成的角的正弦．

Answer 1

分析 （1）由已知得△CMB是等边三角形，取MB的中点O，则CO⊥MB，又平面BMC⊥平面ABMD，CO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出底面梯形的面积，再利用棱锥的体积公式解答；
（2）利用面面垂直的性质和判定，找到折后直线AB与面AMC所成的角的平面角，然后求正弦值即可．

解答 解：（1）由已知∠DAB=60°，AB=AD=2，
M为边CD的中点，
∴△CMB是等边三角形，
取MB的中点O，则CO⊥MB，
又平面BMC⊥平面ABMD于MB，
则CO⊥平面ABMD，且CO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
${S}_{梯形ABCM}=\frac{AB+CM}{2}×CO$=$\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴V_{四棱锥C-ADMB}=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{8}$；
（2）∵∠DAB=60°，AB=AD=2，
M为边CD的中点，
∴AM=2$\sqrt{3}$，BM=2，
∴AM⊥BM，
又平面BMC⊥平面ABMD交线为BM，
∴AM⊥平面CMB，
∴平面AMC⊥平面BMC于MC，
由△CMB是等边三角形，取CM的中点E，连接BE，则BE⊥CM，
∴BE⊥平面AMC，连接EA，则∠BAE是直线AB与平面AMC所成的角，
∴sin∠BAE=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了折叠的问题，将平面图折叠得到立体图形，求几何体的体积及空间角，属于中档题．