Question

9．已知函数f（x）=$\frac{6}{x-1}$，
（Ⅰ）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性并用单调性的定义证明；
（Ⅱ）x∈[2，4]，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数单调性的定义证明函数的单调性即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出函数的最大值和最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，证明如下：
设1＜x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{6{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{1}-1）{（x}_{2}-1）}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）递减；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）在[2，4]上是减函数，
∴f（x）_min=f（4）=2，f（x）_max=f（2）=6．

点评 本题考查了通过定义证明函数的单调性以及求函数的最大值和最小值问题，是一道基础题．