Question

如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=a，PD=a．

（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；

（2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小．

Answer 1

考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．

专题：

计算题．

分析：

（1）连接PC，交DE与N，连接MN，所以MN∥AC，再根据线面平行的判定定理可得答案．

（2）以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．

解答：

解：（1）证明：连接PC，交DE与N，连接MN，

在△PAC中，∵M，N分别为两腰PA，PC的中点

∴MN∥AC，…（2分）

又AC⊄面MDE，MN⊂面MDE，

所以 AC∥平面MDE．…（4分）

（2）以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则P（0，0，a），B（a，a，0），C（0，2a，0），

所以，，…（6分）

设平面PAD的单位法向量为，则可取        …（7分）

设面PBC的法向量，

则有

即：，取z=1，

则∴…（10分）

设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为θ，

∴…（11分）

∴θ=60°，

所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为60°…（12分）

点评：

本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，求二面角的平面角的关键是找到角，再求出角，解决此类问题也可以建立坐标系，利用空间向量求出空间角与空间距离．