Question

如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=

1

2

CD=a，PD=

2

a．
（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；
（2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）连接PC，交DE与N，连接MN，所以MN∥AC，再根据线面平行的判定定理可得答案．
（2）以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角．

解答：解：（1）证明：连接PC，交DE与N，连接MN，
在△PAC中，∵M，N分别为两腰PA，PC的中点
∴MN∥AC，…（2分）
又AC?面MDE，MN?面MDE，
所以 AC∥平面MDE．…（4分）
（2）以D为空间坐标系的原点，分别以 DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则P（0，0，

2

a），B（a，a，0），C（0，2a，0），
所以

PB

=(a，a，-

2

a)，

BC

=(-a，a，0)，…（6分）
设平面PAD的单位法向量为

n1

，则可取

n1

=(0，1，0)        …（7分）
设面PBC的法向量

n2

=(x，y，z)，
则有

n2 • PB =(x，y，z)•(a，a，- 2 a)=0 n2 • BC =(x，y，z)•(-a，a，0)=0

即：

x+y- 2 z=0 -x+y=0

，取z=1，
则x=

2

2

，y=

2

2

∴

n2

=(

2

2

，

2

2

，1)…（10分）
设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为θ，
∴cosθ=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

2 2

1• 2

=

1

2

…（11分）
∴θ=60°，
所以平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为60°…（12分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，求二面角的平面角的关键是找到角，再求出角，解决此类问题也可以建立坐标系，利用空间向量求出空间角与空间距离．