Question

如图，四边形PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=

1

2

CD=a，PD=

2

a．
（Ⅰ）若M为PA的中点，求证AC∥平面MDE；
（Ⅱ）求三棱锥A-MDE的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若M为PA的中点，链接PC，交DE于点N，可得MN为三角形PAC的中位线，故有MN∥AC．再根据直线和平面平行的判定定理证得 AC∥平面MDE．
（Ⅱ）由题意可得CD⊥平面PAD，再由CE平行于平面PAD可得，点E到平面PAD的距离等于CD．再根据三棱锥A-MDE的体积V_A-MDE=V_E-DAM=

1

3

•S_ADM•CD，运算求得结果．

解答：证明：（Ⅰ）若M为PA的中点，链接PC，交DE于点N，
由四边形PDCE为矩形，可得N为PC的中点，
故MN为三角形PAC的中位线，故有MN∥AC．
而MN?平面MDE，AC不在平面MDE内，故有AC∥平面MDE．
（Ⅱ）由于平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，
AB=AD=

1

2

CD=a，PD=

2

a，故有CD⊥平面PAD．
再由CE平行于平面PAD可得，点E到平面PAD的距离等于CD．
三棱锥A-MDE的体积V_A-MDE=V_E-DAM=

1

3

•S_ADM•CD
=

1

3

•（

1

2

•SPAD）•CD=

1

3

•（

1

2

•

1

2

a•

2

a）•2a=

2

6

•a³．

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，用等体积法求棱锥的体积，属于中档题．