Question

2．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：

x	2	3	4	5	6
y	22	38	55	65	70

若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：
（1）线性回归方程；
（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
参考公式：回归直线方程$\widehat{y}$=bx+a，b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根据所给的数据，做出变量x，y的平均数，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数b，在根据样本中心点一定在线性回归直线上，求出a的值，求得线性回归方程；
（2）当自变量为10时，代入线性回归方程，求出维修费用．

解答 解：（1）列表如下：

i	1	2	3	4	5
xi	2	3	4	5	6
yi	22	38	55	65	70
xiyi	44	114	220	325	420
$x_i^2$	4	9	16	25	36
$\overline x=4$，$\overline y=50$，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}=90$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=1123$

$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=50，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}=90$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=1123$，
于是b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{1123-5×4×50}{90×5×{4}^{2}}$=12.3，$a=\overline y-bx=50-12.3×4=0.8$，
$\widehat{y}$=bx+a=12.3x+0.8，
∴线性回归方程为：$\widehat{y}$=12.3x+0.8，
（2）当x=10时，$\widehat{y}$=12.3×10+0.8=123.8（万元），
即估计使用10年时维修费用是123.8万元．

点评 本题考查最小二乘法求回归方程，考查回归方程的应用，解题时要认真审题，注意散点图的灵活运用，属于中档题．