Question

（2008•普陀区二模）经济学中有一个用来权衡企业生产能力（简称“产能”）的模型，称为“产能边界”．它表示一个企业在产能最大化的条件下，在一定时期内所能生产的几种产品产量的各种可能的组合．例如，某企业在产能最大化条件下，一定时期内能生产A产品x台和B产品y台，则它们之间形成的函数y=f（x）就是该企业的“产能边界函数”．现假设该企业的“产能边界函数”为y=15

1600-2x

（如图）．
（1）试分析该企业的产能边界，分别选用①、②、③中的一个序号填写下表：

点Pi（x，y）对应的产量组合	实际意义
P1（350，450）	③
P2（200，300）
P3（500，400）
P4（408，420）

①这是一种产能未能充分利用的产量组合；
②这是一种生产目标脱离产能实际的产量组合；
③这是一种使产能最大化的产量组合．
（2）假设A产品每台利润为a（a＞0）元，B产品每台利润为A产品每台利润的2倍．在该企业的产能边界条件下，试为该企业决策，应生产A产品和B产品各多少台才能使企业从中获得最大利润？

Answer 1

分析：（1）将四个点的坐标分别代入，P₁（350，450）代入，满足函数关系式，所以是一种使产能最大化的产量组合，其它一一加以计算并验证可得答案；
（2）先构建函数f(x)=ax+30a

1600-2x

，再用换元法，转化为二次函数，从而求出答案．

解答：解：（1）将P₁（350，450）代入，满足函数关系式，所以是一种使产能最大化的产量组合；
同理P₂（200，300）一种生产目标脱离产能实际的产量组合；
P₃（500，400），P₄（408，420）是一种产能未能充分利用的产量组合；
（2）设生产A产品x台，B产品y台，f(x)=ax+30a

1600-2x

，令

1600-2x

=t（0≤t≤40）
则  f(t)=-

a

2

(t-30)2+1250a，∴t=30利润最大，∴x=350，y=450

点评：本题主要考查函数模型的利用，考查函数最值问题，应注意与实际问题相联系．