Question

f（x）对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=

1

2

．
（Ⅰ）求f(

1

2

)和f(

1

n

)+f(

n-1

n

)(n∉N)的值．
（Ⅱ）数列{a_n}满足：a_n=f（0）+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)，数列{a_n}是等差数列吗？请给予证明；
试比较T_n与S_n的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=

1

2

，知f(

1

2

)+f(1-

1

2

)=f(

1

2

)+f(

1

2

)=

1

2

．由此能求出f(

1

2

)和f(

1

n

)+f(

n-1

n

)(n∉N)的值．
（Ⅱ）an=f(0)+f(

1

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)又an=f(1)+f(

n-1

n

)+…+f(

1

n

)+f(0)两式相加2an=[f(0)+f(1)]+[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)]+…+[f(1)+f(0)]=

n+1

2

．由此知数列{a_n}是等差数列．bn=

4

4an-1

=

4

n

，Tn=

b

2 1

+

b

2 2

+…+

b

2 n

=16(1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)≤16[1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

]=S_n．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=

1

2

，
∴f(

1

2

)+f(1-

1

2

)=f(

1

2

)+f(

1

2

)=

1

2

．
所以f(

1

2

)=

1

4

．
令x=

1

n

，
得f(

1

n

)+f(1-

1

n

)=

1

2

，
即f(

1

n

)+f(

n-1

n

)=

1

2

．
（Ⅱ）an=f(0)+f(

1

n

)+…+f(

n-1

n

)+f(1)
又an=f(1)+f(

n-1

n

)+…+f(

1

n

)+f(0)
两式相加2an=[f(0)+f(1)]+[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)]+…+[f(1)+f(0)]=

n+1

2

．
所以an=

n+1

4

，n∈N，
又an+1-an=

n+1+1

4

-

n+1

4

=

1

4

．
故数列{a_n}是等差数列．
bn=

4

4an-1

=

4

n

，
Tn=

b

2 1

+

b

2 2

+…+

b

2 n

=16(1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)
≤16[1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

]
=16[1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]
=16(2-

1

n

)=32-

16

n

=Sn
所以T_n≤S_n．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．