Question

19．函数y=2$\sqrt{x-1}$-x+2的值域是（-∞，2]．

Answer 1

分析 求出函数的定义域，利用换元法进行求解即可．

解答 解：由x-1≥0得x≥1，则函数的定义域为[1，+∞），
设t=$\sqrt{x-1}$，则t≥0，则x-1=t²，x=t²+1，
则函数等价为2t-t²-1+2=-t²+2t+1=-（t-1）²+2，
对称轴为t=1，
∵t≥0，∴y≤2，
即函数的值域为（-∞，2]，
故答案为：（-∞，2]

点评 本题主要考查函数值域的求解，利用换元法转化为关于t的一元二次函数，利用一元二次函数单调性的性质进行求解是解决本题的关键．