Question

如图，三棱锥P-ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB

(1)求证：AB平面PCB；
(2)求异面直线AP与BC所成角的大小；
(3)求二面角C-PA-B 的大小的余弦值。

Answer 1

(1)  PC平面ABC，AB平面ABC，PCAB，CD平面PAB，AB平面PAB，
CD AB。又，AB 平面PCB (2)  (3)

试题分析：（1） PC平面ABC，AB平面ABC，PCAB，
CD平面PAB，AB平面PAB， CD AB。又，AB 平面PCB
（2）由（1）AB 平面PCB ，PC=AC=2， 又AB=BC， 可求得BC=
以B为原点，如图建立空间直角坐标系，
则A（0，，0），B（0，0，0）， C（，0，0）  P（，0，2）
=（，-，2），=（，0，0） 则=+0+0=2
   异面直线AP与BC所成的角为
（3）设平面PAB的法向量为m=（x，y，z）=（0，-，0），=（，，2）
则，即，得m=（，0，-1）设平面PAC的法向量为n=（x，y，z）
=（0，0，-2），=（，-，0），则
得n=（1，1，0）cos<m,n>=  二面角C-PA-B大小的余弦值为
点评：线面垂直的判定定理：一条直线垂直于平面内两条相交直线，则直线垂直于平面，向量法求两直线所成角，二面角时首先找到直线的方向向量和平面的法向量，通过求解向量夹角的到相应角