Question

 是双曲线 上一点，、分别是双曲线的左、右顶点，直线，的斜率之积为.

(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于，两点，为坐标原点，为双曲线上一点，满足，求的值．

Answer 1

(1) e＝.  (2)λ＝0或λ＝－4.

试题分析：(1)点P(x₀，y₀)(x₀≠±a)在双曲线＝1上，有＝1，        1分
由题意又有·＝，                       2分
可得a²＝5b²，c²＝a²＋b²＝6b²，则e＝.                  4分
(2)联立，得4x²－10cx＋35b²＝0，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)
则①                          6分
设，，即
又C为双曲线上一点，即－5＝5b²，有(λx₁＋x₂)²－5(λy₁＋y₂)²＝5b²  。7分
化简得：λ²(－5)＋(－5)＋2λ(x₁x₂－5y₁y₂)＝5b²             。9分
又A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)在双曲线上，所以－5＝5b²，－5＝5b²
由①式又有x₁x₂－5y₁y₂＝x₁x₂－5(x₁－c)(x₂－c)＝－4x₁x₂＋5c(x₁＋x₂)－5c²＝10b²
得λ²＋4λ＝0，解出λ＝0或λ＝－4.                   12分
点评：难题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题利用双曲线的标准方程，确定得到离心率。本题（II）在利用韦达定理的基础上，又利于点在曲线上得到λ的方程，使问题得解。