Question

【题目】已知函数的导函数为，且，其中为自然对数的底数.

（1）求函数的最大值；

（2）证明 ：.

Answer 1

【答案】（1）0（2）见解析

【解析】分析：(1)由题意可得，明确函数的单调性，从而得到函数的最大值；

（2）由（1）得，即，要证，

即，故只需证，故只需证，

即证成立.

详解：（1）因为，所以 ，

，

解得则，

所以，

令，得，令得，

所以当时，.

（2）由（1）得的最大值为0，

所以，即，

从而，

要证，

即，

故只需证，

即证成立；

令

则，

令，则，

令，得，

因为单调递增，所以当时，，单调递减，即单调递减.

当时，，单调递增， 即单调递增，

因为，，

由零点存在定理可知，，使得，

故当或时，单调递增；

当时，单调递减，

所以的最小值是或.

由，得，

，

因为，所以，

故当时，，所以原不等式成立.