Question

【题目】如图所示，在三棱台中，和均为等边三角形，四边形为直角梯形，平面，，分别为的中点.

（1）求证:平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】分析：（1）取的中点，连接，要证平面，可转证平面平面，即证平面，平面；

（2）先证明两两互相垂直，以为轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用公式即可求出二面角的余弦值.

详解：（1）取的中点，连接，

则，

因为平面，平面，

所以平面，

因为三棱台中，，

所以，

因为平面，平面，

所以平面，

因为，所以平面平面， 因为平面，所以平面.

（2）取的中点，连接，

因为平面，平面，

所以，

因为，

所以平面，所以，

因为为直角梯形，

，

所以为正方形，所以，

所以两两互相垂直，分别以为轴建立空间直角坐标系，

因为，

所以，

由，得，

所以，

设平面的一个法向量为，

由 得，

令，得，

设平面的一个法向量为，

由得

令，得，

所以

由图观察可知，平面与平面所成二面角为钝角，所以其余弦值为.