题目内容
【题目】已知函数
(1)若
，当
时，求
的单调区间；
(2)若函数
有唯一的零点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
的单调增区间为
，的单调减区间为
，（2）实数
的取值范围为
。
【解析】
（1）对函数
求导，把
代入导函数中，利用导函数求出的单调区间；
（2）函数
有唯一的零点等价于方程
有唯一实数根，利用导数研究函数
与
的交点即可求出实数的取值范围。
（1）由题可得：
，定义域为
，
，
，
令
得：
或
（舍去）
令
得：
或
，结合定义域得：
令得：
，结合定义域得：
的单调增区间为，的单调减区间为，
（2）函数有唯一的零点等价于
只有唯一的实数根，
显然
，则只有唯一的实数根等价于关于
的方程有唯一实数根，
构造函数
，则
，
令
，解得：
，
令
，解得：
，则函数
在
上单调递增；
令
，解得：
，则函数在
上单调递减；
的极小值为
，
如图，作出函数的大致图像，则要使方程只有唯一实数根，只需要直线
与曲线
只有唯一交点，
或
，解得：
或
，
故实数的取值范围为
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