Question

10．已知等比数列{a_n}的公比为q＞0，a₂+a₃=12，且a₄=16．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂a_n，求数列$\left\{{\frac{b_n}{a_n}}\right\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等比数列的通项公式列出方程组，求出a₁、q，即可求出通项公式；
（2）由（1）和对数的运算性质化简b_n，利用错位相减法求出数列$\left\{{\frac{b_n}{a_n}}\right\}$的前n项和T_n．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}q+{a_1}{q^2}=12\\{a_1}{q^3}=16\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q（1+q）=12}\\{{a}_{1}q•{q}^{2}=16}\end{array}\right.$，
两式相除得，$\frac{q^2}{1+q}=\frac{4}{3}$，即3q²-4q-4=0，
又q＞0，得q=2，代入得a₁=2，
所以${a_n}={2^n}$；
（2）由（1）得${b_n}={log_2}{2^n}=n，\frac{b_n}{a_n}=\frac{n}{2^n}$，
所以${T_n}=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-1}}}}+\frac{n}{2^n}$①，
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+…+\frac{n-1}{2^n}+\frac{n}{{{2^{n+1}}}}$②
由①-②得，$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}[1-{（\frac{1}{2}）}^{n}]}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{{2}^{n+1}}=1-\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$，
所以T_n=$2-\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式，以及数列求和方法：错位相消法，考查方程思想，化简、变形能力．