Question

19．已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+1（a≠0），下列结论中错误的是（　　）

• A． ?x₀∈R，使得f（x₀）=0
• B． 函数y=f（x）的图象一定是中心对称图形
• C． 若x₀是函数f（x）的极值点，则f'（x₀）=0
• D． 若x₀是函数f（x）的极小值点，则函数f（x）在区间（-∞，x₀）上单调递减

Answer 1

分析 A．不妨设a＞0，则x→-∞时，f（x）→-∞；x→+∞时，f（x）→+∞，即可判断出结论．
B．f′（x）=3ax²+2bx+c，f″（x）=6ax+2b，由于f″（x）=6a×（-$\frac{b}{3a}$）+2b=0，可得函数f（x）关于点$（-\frac{b}{3a}，f（-\frac{b}{3a}））$对称，即可判断出结论．
C．利用函数极值点的必要条件即可判断出结论．
D．若a＞0，f′（x）=3ax²+2bx+c，则二次函数y=3ax²+2bx+c的图象开口向上．若x₁，x₀是函数f（x）的极值点，且x₀是函数f（x）的极小值点，则x₁＜x₀，利用导数即可判断出其单调区间．

解答 解：A．不妨设a＞0，则x→-∞时，f（x）→-∞；x→+∞时，f（x）→+∞，因此函数?x₀∈R，使得f（x₀）=0，正确．
B．∵f（x）=ax³+bx²+cx+1（a≠0），∴f′（x）=3ax²+2bx+c，f″（x）=6ax+2b，∵f″（x）=6a×（-$\frac{b}{3a}$）+2b=0，∴函数f（x）关于点$（-\frac{b}{3a}，f（-\frac{b}{3a}））$对称，正确．
C．若x₀是函数f（x）的极值点，则f'（x₀）=0，正确．
D．若a＞0，f′（x）=3ax²+2bx+c，则二次函数y=3ax²+2bx+c的图象开口向上．
若x₁，x₀是函数f（x）的极值点，且x₀是函数f（x）的极小值点，则x₁＜x₀，因此函数f（x）的单调递减区间为（x₁，x₀），单调递增区间为：（-∞，x₁），（x₀，+∞），因此不正确．
综上可知：只有D错误．
故选：D．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、对称性、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．