Question

18．已知数列{a_n}是一个等差数列，S_n为其前n项和，a₂=1，S₉=-45．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{5-{a}_{n}}{2}$，c_n=2^b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意和等差数列的前n项和公式求出a₅，由等差数列的性质求出公差，再由等差数列的通项公式求出{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（I）化简b_n=$\frac{5-{a}_{n}}{2}$，代入c_n=2^b_n化简，由等比数列的前n项和公式求出T_n．

解答 解：（Ⅰ）由S₉=-45得，$\frac{9（{a}_{1}+{a}_{9}）}{2}=-45$，
则9a₅=-45，解得a₅=-5，
又a₂=1，则公差d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{2}}{5-2}$=-2，
所以a_n=a₂+（n-2）d=-2n+5；
（Ⅱ） 由（I）得b_n=$\frac{5-{a}_{n}}{2}$=n，c_n=2^b_n=2ⁿ，
所以T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2．

点评 本题考查了等比数列的前n项和公式，等差数列的性质、通项公式、前n项和公式，考查化简、变形能力．