Question

设整数3，集合P{1，2，3，…，n}，A，B是P的两个非空子集．记an为所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A，B)的个数．

   （1）求a3；

   （2）求an．

Answer 1

（1）当3时，P{1，2，3 }，

        其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，

        则所有满足题意的集合对(A，B)为：({1}，{2})，({1}，{3})，({2}，{3})，

        ({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5对，

        所以a3；                   

（2）设A中的最大数为k，其中,整数3，

        则A中必含元素k，另元素1，2，…，k可在A中，故A的个数为：

        ，    

        B中必不含元素1，2，…，k，另元素k1，k2，…，n可在B中，但不能

        都不在B中，故B的个数为：，

        从而集合对(A，B)的个数为，

        所以an．