Question

1．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3$\sqrt{3}$，点E，F在线段DB₁上，且DE=EF=FB₁，点M是正方体表面上的一动点，点P，Q是空间两动点，若$\frac{|PE|}{|PF|}$=$\frac{|QE|}{|QF|}$=2且|PQ|=4，则$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$的最小值为-$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 首先由由题意可得DB₁=9，EF=3，在线段EF上取一点K，使得EK=2，FK=1，设KB₁的中点为N，如图，由已知可得点P，Q在以KB1为直径的球N的表面上，球心为N，球的直径为4，由于|PQ|=4，故PQ是球N的直径，由向量的知识可知$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=${\overrightarrow{MN}}^{2}$-4，故要求$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$的最小值，只需要求出|$\overrightarrow{MN}$|的最小值，结合图形解答即可

解答 解：如图，由题意可得DB₁=9，EF=3，
在线段EF上取一点K，使得EK=2，FK=1，
设KB₁的中点为N，
由于$\frac{|PE|}{|PF|}$=$\frac{|QE|}{|QF|}$=2，则点P，Q在以KB1为直径的球N的表面上，球心为N，球的直径为4，
由于|PQ|=4，故PQ是球N的直径，
即$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{MP}$+$\overrightarrow{MQ}$）²-（$\overrightarrow{MP}$-$\overrightarrow{MQ}$）²]=${\overrightarrow{MN}}^{2}$-$\frac{1}{4}$${\overrightarrow{QP}}^{2}$=${\overrightarrow{MN}}^{2}$-4，
故要求$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$的最小值，只需要求出|$\overrightarrow{MN}$|的最小值，
设点N在平面BCC₁B₁内的射影为M₀，则当M在M₀处时，|$\overrightarrow{MN}$|有最小值$\frac{2}{9}$|$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
此时${\overrightarrow{MN}}^{2}$-4=$\frac{4}{3}$-4=-$\frac{8}{3}$，
故答案为：-$\frac{8}{3}$

点评 本题考查了空间几何体，以及向量的有关知识，关键是判断出要求$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$的最小值，只需要求出|$\overrightarrow{MN}$|的最小值，属于难题．