Question

13．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{m+2}-\frac{{y}^{2}}{n}$=1与双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{n}$=1有相同的焦点，则椭圆C₁的离心率e₁的取值范围为$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜e₁＜1．

Answer 1

分析 由椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{m+2}-\frac{{y}^{2}}{n}$=1与双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{n}$=1有相同的焦点，可得m＞0，n＜0．因此m+2-（-n）=m-n，解得n=-1．于是椭圆C₁的离心率e₁²=1-$\frac{1}{m+2}$，利用不等式的性质和e＜1即可得出．

解答 解：在椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{m+2}-\frac{{y}^{2}}{n}$=1中，a₁²=m+2，b₁²=-n，c₁²=m+2+n，e₁²=$\frac{m+2+n}{m+2}$=1+$\frac{n}{m+2}$．
∵曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{m}+\frac{{y}^{2}}{n}$=1，∴a₂²=m，b₂²=-n，c₂²=m-n．由题意可得m+2+n=m-n，则n=-1．
∴e₁²=1-$\frac{1}{m+2}$．由m＞0，得m+2＞2．
∴0＜$\frac{1}{m+2}$＜$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{m+2}$＞-$\frac{1}{2}$，∴1-$\frac{1}{m+2}$＞$\frac{1}{2}$，即e₁²＞$\frac{1}{2}$．
而0＜e₁＜1，∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜e₁＜1．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜e₁＜1．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、不等式的性质，属于基础题．