Question

8．为了促销某电子产品，商场进行降价，设m＞0，n＞0，m≠n，有三种降价方案：
方案①：先降m%，再降n%；
方案②：先降$\frac{m+n}{2}%$，再降$\frac{m+n}{2}%$；
方案③：一次性降价（m+n）%．
则降价幅度最小的方案是②．（填出正确的序号）

Answer 1

分析 设m＞0，n＞0，m≠n，设原来价格为1，有三种降价方案：方案①：先降m%，再降n%，价格变为：（1-m%）（1-n%）；方案②：先降$\frac{m+n}{2}%$，再降$\frac{m+n}{2}%$，共降了：（1-$\frac{m+n}{2}%$）（1-$\frac{m+n}{2}%$）．方案③：一次性降价1-（m+n）%．通过作差比较即可得出大小关系．

解答 解：设m＞0，n＞0，m≠n，设原来价格为1，有三种降价方案：
方案①：先降m%，再降n%，价格变为：（1-m%）（1-n%）；
方案②：先降$\frac{m+n}{2}%$，再降$\frac{m+n}{2}%$，共降了：（1-$\frac{m+n}{2}%$）（1-$\frac{m+n}{2}%$）．
方案③：一次性降价1-（m+n）%．
∵（1-$\frac{m+n}{2}%$）（1-$\frac{m+n}{2}%$）-（1-m%）（1-n%）=$（\frac{m+n}{2}%）^{2}$-（mn）%=$\frac{[（m-n）%]^{2}}{4}$＞0，
（1-$\frac{m+n}{2}%$）（1-$\frac{m+n}{2}%$）-[1-（m+n）%]=$（\frac{m+n}{2}%）^{2}$＞0．
∴降价幅度最小的方案是②．
故答案为：②．

点评 本题考查了数列的应用、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．