Question

对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的一个“稳固区间”．现有四个函数：
①f（x）=e^x；
②f（x）=x³；
③f（x）=sinx；
④f（x）=x²-2x+2．
其中存在“稳固区间”的函数有

 

．

Answer 1

考点：正弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：根据“稳定区间”的定义，我们要想说明函数存在“稳定区间”，我们只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“稳定区间”，我们可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．

解答： 解：：①对于函数f（x）=e^x 若存在“稳定区间”[a，b]，由于函数是定义域内的增函数，故有e^a=a，e^b=b，
即方程e^x=x有两个解，即y=e^x和y=x的图象有两个交点，这与即y=e^x和y=x的图象没有公共点相矛盾，
故①不存在“稳定区间”．
②对于f（x）=x³ 存在“稳定区间”，如 x∈[0，1]时，f（x）=x³ ∈[0，1]．
③对于函数f（x）=sinx，若正弦函数存在等值区间[a，b]，则在区间[a，b]上有sina=a，sinb=b，由正弦函数的值域知道[a，b]⊆[-1，1]，但在区间]⊆[-1，1]上仅有sin0=0，所以函数f（x）=sinx没有“稳固区间”．
对于④f（x）=x²-2x+2，存在“稳定区间”，如 x∈[1，2]时，f（x）∈[1，2]．
故答案为：②④．

点评：本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，在说明一个函数没有“稳定区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键，属于基础题．