Question

3．如图，在正方形AG₁G₂G₃中，点B，C分别是G₁G₂，G₂G₃的中点，点E，F分别是G₃C，AC的中点，现在沿AB，BC及AC把这个正方形折成一个四面体，使G₁，G₂，G₃三点重合，重合后记为G．
（I）判断在四面体GABC的四个面中，哪些面的三角形是直角三角形，若是直角三角形，写出其直角（只需写出结论）；
（Ⅱ）请在四面体GABC的直观图中标出点E，F，并求证：EF∥平面ABG；
（Ⅲ）求证：平面EFB⊥平面GBC．

Answer 1

分析 （1）根据折叠前后折痕一侧的角不发生变化可知∠AGB=∠AGC=∠BGC=90°，
（2）根据AG⊥GB，AG⊥GC可得AG⊥平面GBC，故而AG⊥BC；
（3）连结EF，则EF∥AG，故而EF⊥平面GBC，所以平面EFB⊥平面GBC．

解答 解：（Ⅰ） 在正方形AG₁G₂G₃中，∠G₁，∠G₂，∠G₃都是直角．
沿AB，BC及AC把这个正方形折成四面体GABC后，此三个角度数不变．
即 在四面体GABC的四个面中，
在△AGB中，∠AGB=90°，
在△AGC中，∠AGC=90°，
在△BGC中，∠BGC=90°，△ABC不是直角三角形．
故 分别在平面AGB，平面AGC和平面BGC的三角形是直角三角形．
（Ⅱ）在四面体GABC的直观图中标出点E，F
证明：因为在△AGC中，点E，F分别是GC，AC的中点，
所以EF∥AG，
因为EF?平面ABG，AG?平面ABG，
所以EF∥平面ABG．
（Ⅲ）证明：在四面体GABC中，∠AGB=90°，∠AGC=90°，
即 AG⊥GB，AG⊥GC，
因为在平面BGC中，GB∩GC=G
所以AG⊥平面BGC．
由（Ⅱ）已证EF∥AG，
所以EF⊥平面BGC．
因为EF?平面EFB
所以平面EFB⊥平面GBC．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定，属于中档题．