Question

12．已知数列{a_n}各项均不相等，a_n+1=pa_n+qa_n-1（n≥2）．
（1）当p=3，q=-2时，求证：数列{a_n-a_n-1}为等比数列；
（2）试问p，q满足什么条件时{a_n-a_n-1}为等比数列．

Answer 1

分析 （1）将右侧的a_n拆开1个移到左侧，计算$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$，若结果为常数，则结论成立；
（2）假设{a_n-a_n-1}为等比数列，则$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=常数，设公比为k，用a_n和a_n-1表示出a_n+1，对照已知条件，由系数相等列出方程，得到p，q的关系．

解答 证明：（1）当p=3，q=-2时，a_n+1=3a_n-2a_n-1，∴a_n+1-a_n=2a_n-2a_n-1，
∵a_n≠a_n-1，∴$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=2．∴数列{a_n-a_n-1}为等比数列．
（2）∵a_n+1=pa_n+qa_n-1，∴a_n+1-a_n=（p-1）a_n+qa_n-1，
∵{a_n-a_n-1}为等比数列，设公比为k（k≠0），则$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=k，∴a_n+1-a_n=ka_n-ka_n-1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{p-1=k}\\{q=-k}\end{array}\right.$，两式相加得p+q-1=0，又k≠0得p≠1，q≠0，
∴当p+q-1=0且p≠1时，{a_n-a_n-1}为等比数列．

点评 本题考查了等比数列的性质，等比关系的判断，属于基础题．