Question

如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆:,设是椭圆上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点，.

（1）若直线，互相垂直，求圆的方程；

（2）若直线，的斜率存在，并记为，，求证：；

（3）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

Answer 1

（1）（2）详见解析（3）

【解析】

试题分析：（1）求圆的标准方程，一般用待定系数法，由于已知半径，只需列出关于圆心坐标的两个独立条件即可.因为直线，互相垂直，且和圆相切，所以，，又点在椭圆上，所以，解得（2）利用直线与圆相切得出关于直线斜率的条件，再根据韦达定理给予证明：因为直线：与圆相切，所以,化简得，同理由：与圆相切得，所以是方程的两个不相等的实数根，因此,因为点在椭圆C上，所以,从而（3）分别用直线斜率表示出，坐标，利用（2）的结论进行化简.注意讨论斜率不存在的情形.

试题解析：（1）由圆的方程知，圆的半径的半径，

因为直线，互相垂直，且和圆相切，

所以，即，① 1分

又点在椭圆上，所以，② 2分

联立①②，解得 3分

所以所求圆的方程为． 4分

（2）因为直线：，：，与圆相切，

所以,化简得 6分

同理， 7分

所以是方程的两个不相等的实数根，

8分

因为点在椭圆C上，所以，即，

所以，即． 10分

（3）是定值，定值为36， 11分

理由如下：

法一：（i）当直线不落在坐标轴上时,设,

联立解得 12分

所以，同理，得， 13分

由，

所以

15分

（ii）当直线落在坐标轴上时,显然有，

综上：． 16分

法二：（i）当直线不落在坐标轴上时,设,

因为，所以,即， 12分

因为在椭圆C上，所以，

即， 13分

所以，整理得，

所以，

所以． 15分

（ii）当直线落在坐标轴上时,显然有，

综上：． 16分

考点：直线与圆位置关系，直线与椭圆位置关系