Question

(本小题满分14分)如图，在三棱锥中，，点是线段的中点，平面平面．

（1）在线段上是否存在点， 使得平面？ 若存在， 指出点的位置， 并加以证明；若不存在， 请说明理由;

（2）求证：.

Answer 1

（1）在线段上存在点，使得平面，点是线段的中点，证明详见解析；（2）证明详见解析.

【解析】

试题分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系的基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．对于（1）问，注意到点，与直线同在一个平面内，而面面，故在平面内，过点作，直线与线段的交点就是点，由条件不难知道为的中点，问题得以解决；（2）题中给出了较多边的长度，所以首先考虑这些边所组成的三角形是否为直角三角形，根据勾股定理从而不难得出，所以要证，就只须证明平面，注意到题中还有一个条件平面平面没有使用，结合平面平面及，就不难得出平面，命题得证.

试题解析：（1）在线段上存在点，使得平面，点是线段的中点 2分

下面证明平面:

取线段的中点，连接， 3分

∵点是线段的中点

∴是△的中位线 4分

∴ 6分

∵平面，平面

∴平面 8分

（2）证明：∵

∴

∴ 10分

∵平面平面，且平面平面，平面

∴平面 12分

∵平面

∴ 14分.

考点：1.空间中的平行关系；2.空间中的垂直关系——线线垂直、线面垂直，面面垂直的判定与性质.