Question

已知(1+3x)ⁿ的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,求展开式中系数最大的项及其二项式系数最大的项.

Answer 1

解:末三项的二项式系数分别为、、,由题设,得++=121,

即++1=121.∴n²+n-240=0.

∴n=15(n=-16舍去).∵T_r+1=(3x)^r=·3^rx^r，

设T_r+1项与T^r项的系数分别为t_r+1与t_r,

则t_r+1=3^r,t_r=·3^r-1.令＞1,

即＞1,解得r＜12.

也就是说,当r取小于12的自然数时,

都有t_r＜t_r+1,即第12项以前的各项,前面一项的系数都比后面一项的系数小.

又当r=12时,t_r+1=t_r,即t₁₃=t₁₂,

∴展开式中系数最大的项是T₁₂=·3¹¹·x¹¹,T₁₃=·3¹²·x¹².

当n=15时,二项式系数最大的是第8,9项,分别为·3⁷·x⁷与·3⁸·x⁸.