Question

已知(1+3x)ⁿ的展开式中,末三项的二项式系数的和等于121,求展开式中系数最大的项及二项式系数最大的项.

Answer 1

解:末三项的二项式系数分别为C^n-2_n、C^n-1_n、Cⁿ_n,

    由题设,得C^n-2_n+C^n-1_n+Cⁿ_n=121,

    即C²_n+C¹_n+1=121,

    ∴n²+n-240=0.

    ∴n=15(n=-16舍去).

    ∵T_r+1=C^r₁₅(3x)^r=C^r₁₅·3^rx^r,

    设T_r+1项与T_r项的系数分别为t_r+1与t_r,

    则t_r+1=C^r₁₅3^r,t_r=C^r-1₁₅·3^r-1,令＞1,

    即=＞1,

    解得r＜12.

    也就是说,当r取小于12的自然数时,都有t_r＜t_r+1,即第12项以前的各项,前面一项的系数都比后面一项的系数小.

    又当r=12时,t_r+1=t_r,即t₁₃=t₁₂,

    ∴展开式中系数最大的项是T₁₂=C¹¹₁₅·3¹¹·x¹¹,

    T₁₃=C¹²₁₅·3¹²·x¹²,

    当n=15时,二项式系数最大的是第8、9项,

    分别为C⁷₁₅·3⁷·x⁷与C⁷₁₅·3⁸·x⁸.