Question

已知(

x

-

3	x

)n的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512，
（1）求展开式的所有有理项（指数为整数）．
（2）求（1-x）³+（1-x）⁴+∧+（1-x）ⁿ展开式中x²项的系数．

Answer 1

分析：（1）根据二项展开式中所有奇数项的系数之和为512，写出所有系数的和的表示形式，得到n=10，写出通项式，使得通项式中x的指数等于整数，求出所有的项．
（2）根据二项式系数的性质，变形整理把一项移项，写出展开式中x²项的系数，把系数写成两项的差，依次相加得到结果．

解答：解：（1）C_n⁰+C_n²+…=2^n-1=512=2⁹
∴n-1=9，n=10
Tr+1=

C

r 10

(

x

)10-r(-

3	x

)r=(-1)r

C

r 10

x5-

r

6

（r=0，1，，10）
∵5-

r

6

∈Z，∴r=0，6
有理项为T₁=C₁₀⁰x⁵，T₇=C₁₀⁶x⁴=210x⁴
（2）∵C_n^r+C_n^r-1=C_n+1^r，
∴x²项的系数为C₃²+C₄²+…+C₁₀²=（C₄³-C₃³）+…+（C₁₁³-C₁₀³）
=C₁₁³-C₃³=164

点评：本题考查二项式定理，解题的关键是对于二项式性质的变形应用，然后依次合并同类项，得到最简结果．