Question

已知(

x

-

3	x

)n的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512，
（1）求展开式的所有有理项（指数为整数）．
（2）求（1-x）³+（1-x）⁴+∧+（1-x）ⁿ展开式中x²项的系数．

Answer 1

（1）C_n⁰+C_n²+…=2^n-1=512=2⁹
∴n-1=9，n=10
Tr+1=

C

r10

(

x

)10-r(-

3	x

)r=(-1)r

C

r10

x5-

r

6

（r=0，1，，10）
∵5-

r

6

∈Z，∴r=0，6
有理项为T₁=C₁₀⁰x⁵，T₇=C₁₀⁶x⁴=210x⁴
（2）∵C_n^r+C_n^r-1=C_n+1^r，
∴x²项的系数为C₃²+C₄²+…+C₁₀²=（C₄³-C₃³）+…+（C₁₁³-C₁₀³）
=C₁₁³-C₃³=164