Question

10．设{a_n}是由正数组成的等比数列，S_n是{a_n}的前n项和．已知a₂a₄=16，S₃=28，则a₁a₂…a_n最大时，n的值为3或4．

Answer 1

分析 由题意列式求出等比数列的首项和公比，求出等比数列的通项公式，代入a₁a₂…a_n，然后结合二次函数求值得答案．

解答 解：∵{a_n}是由正数组成的等比数列，S_n是{a_n}的前n项和．a₂a₄=16，S₃=28，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q•{a}_{1}{q}^{3}=16}\\{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}=28}\\{q＞0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=8}\\{q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴${a}_{n}=8•（\frac{1}{2}）^{n-1}={2}^{4-n}$．
则a₁a₂…a_n=2^{（4-1）+（4-2）+…+（4-n）}=${2}^{-\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{7n}{2}}$．
∴当n=3或n=4时，a₁a₂…a_n取最大值．
故答案为：3或4．

点评 本题考查等比数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础的计算题．