Question

已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为．

(Ⅰ)求a，b的值；

(Ⅱ)C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？

若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解： 　　(Ⅰ)设F(c，0)当l的斜率为1时，其方程为到l的距离为 　　 　　故，c＝1 　　由 　　得，＝ 　　(Ⅱ)C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立． 　　由(Ⅰ)知C的方程为2x2＋3y2＝6．设A(x1，y1)B(x2，y2) 　　(ⅰ)当l不垂直x轴时，设l的方程为y＝k(x－1) 　　C上的点P使成立的充要条件是，且 　　整理得 　　 　　故① 　　将 　　 　　于是，x1x2＝， 　　 　　代入①解得，k2＝2，此时 　　于是＝，即 　　因此，当时，，l的方程为； 　　当时，，l的方程为． 　　(ⅱ)当l垂直于x轴时，由知，C上不存在点P使成立． 　　综上，C上存在点使成立，此时l的方程为