Question

【题目】已知函数，其中

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）若函数在定义域上有且只有一个极值点，求实数的取值范围；

（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3) .

【解析】试题分析：（1）先求 切线方程（2）求导得，令 ，再分 和三种情况讨论，借助导数工具求得正解；（3）利用分类讨论思想分 和三种情况讨论，借助导数工具求得正解；

试题解析：（1）当则

又则切线的斜率，

所以函数在处的切线方程为．

（2）， ，则，

令，

①若，则，故，函数在上单调递增，所以函数在上无极值点，故不符题意，舍去；

②若， ，该二次函数开口向下，对称轴， ，

所以在上有且仅有一根，故，

且当时， ， ，函数在上单调递增；

当时， ， ，函数在上单调递减；

所以时，函数在定义域上有且仅有一个极值点，符合题意；

③若， ，该二次函数开口向上，对称轴．

（ⅰ）若，即， ，故，函数在上单调递增，所以函数在上无极值点，故不符题意，舍去；

（ⅱ）若，即，又，所以方程在上有两根， ，故，且

当时， ， ，函数在上单调递增；

当时， ， ，函数在上单调递减；

当时， ， ，函数在上单调递增；

所以函数在上有两个不同的极值点，故不符题意，舍去，

综上所述，实数的取值范围是．

（3）由（2）可知，

①当时，函数在上单调递增，所以当时，

，符合题意，

②当时， ，

（ⅰ）若，即，函数在上单调递减，故，不符题意，舍去，

（ⅱ）若，即，故函数在上单调递增，在上单调递减，

当时， （事实上，令， ，则，函数在上单调递减，所以，即对任意恒成立．）

所以存在，使得，故不符题意，舍去；

③当时， ，函数在上单调递增，所以当时， ，符合题意．

综上所述，实数的取值范围是．